归并排序的实现

1.概述

归并排序由冯·诺伊曼在1945年首次提出，是一种典型的分治思想：将问题拆分，递归处理，然后合并。归并排序的基础思路是，当一个数组的前后两部分都是有序的话，那么可以在O(n)时间内合并，使整个数组有序。归并排序的算法复杂度，在最好、最坏和平均的情况下，都是O(nLogn)。

2.算法

归并排序有两种思路：自顶向下和自底向上。

自顶向下就是先将数组作为整体，设数组长度为n，则先分成两个n/2的数组，递归调用归并排序，然后再合并。

按照这个思路，可以先写出以下递归代码：

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void mergeSort(vector<int> &nums, int i, int j){
    if (i < j){
        int mid = (i + j) / 2;
        mergeSort(nums, i, mid);        // 使[i, mid]有序
        mergeSort(nums, mid + 1, j);    // 使(mid, j]有序
        merge(nums, i, mid, j);         // 将有序的两部分[i, mid], (mid, j]合并起来
    }
}

而merge的过程也很简单：

  1. 分配一个临时数组，空间大小和待合并的数组相同：j-i+1
  2. 当左右两部分数组都有值时，对比两个数组中最小的值，将该值存放到临时数组中
  3. 当一个子数组的数据全部存放到临时数组后，将另一个子数组的数据依次放到临时数组中
  4. 将临时数组的数据替换到原数组中

在这个过程需要分配额外的空间，其大小和数组长度一致，所以归并排序的空间复杂度为O(n)

代码如下：

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void merge(vector<int>& nums, int left, int mid, int right){
    vector<int> tmp(right - left + 1);      // 分配临时数组
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;       // i,j是左右两个子数组的起点，将移动到各自的终点：mid和right
    while(i <= mid && j <= right){          // 当两个子数组都有数据时，进行对比
        if (nums[i] <= nums[j]){            // 将小的值存放到tmp中
            tmp[k++] = nums[i++];
        }else{
            tmp[k++] = nums[j++];
        }
    }
                                            
    while (i <= mid) {                      // 如果左边数组还有值，放到tmp中
        tmp[k++] = nums[i++];
    }

    while (j <= right) {                    // 如果右边数组还有值，放到tmp中
        tmp[k++] = nums[j++];
    }

    for (int p = 0; p < k; p++) {           // 将tmp的值复制到原数组
        nums[left + p] = tmp[p];
    }
}

归并排序也可以采用自底向上的思路，即先将数组n分成一个个长度为1的子数组，然后两两合并；再分成长度为2的子数组，合并；直到分成长度为n/2的子数组，再进行合并，达到最终有序。

代码如下：

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void mergeSort(vector<int> &nums){
    int len = nums.size();
    int left = 0, right = len - 1;  // 左右边界
    for (int width = 1; width < len; width *= 2){           // 分组的边长，依次是1,2,4,8,...
        for (int i = 0; i < len - width; i += width * 2){   // 每个小数组的长度为width, 每次合并两个数组，i代表第1个数组的起点 
            int j = i + width * 2 - 1;                      // j是第二个数组的右边界
            if (j > len - 1){
                j = len - 1;                            // 不能超过整个数组的边界
            }
            int mid = i + width - 1;                    // mid是第一个数组的右边界
            merge(nums, i, mid, j);                     // 合并
        }
    } 
}

3.C++11代码

  • 递归版本
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#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right){
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;

    while(i <= mid && j <= right){
        if (nums[i] > nums[j]){
            tmp[k++] = nums[j++];
        }else{
            tmp[k++] = nums[i++];
        }
    }

    while(i <= mid){
        tmp[k++] = nums[i++];
    }

    while(j <= right){
        tmp[k++] = nums[j++];
    }

    for (i = 0; i < k; i++){
        nums[left + i] = tmp[i];
    }
}

void mergeSort(vector<int> &nums, int i, int j){
    if (i >= j){
        return ;
    }

    int mid = (i + j) / 2;
    mergeSort(nums, i, mid);     // 对左边进行排序
    mergeSort(nums, mid + 1, j); // 对右边进行排序

    merge(nums, i, mid, j);     // 现在[i, mid]和[mid+1, j]都是有序的，将这两部分合并
}

int main(){
    // 测试用例
    vector<vector<int>> test_case = {
        {2, 2},
        {1, 2},
        {2, 1},
        {2, 2, 2, 2, 2},
        {1, 2, 3, 4, 5},
        {5, 4, 3, 2, 1},
    };

    // 加一些随机数组
    srand(time(0));
    for (int i = 0; i < 1000; i++){
        int len = rand() % 100 + 1;
        vector<int> nums(len);
        for (int j = 0; j < len; j++){
            nums.push_back(rand() % 100);
        }
        test_case.push_back(nums);
    }

    for (auto nums : test_case){
        mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);

        for (int i = 1; i < nums.size(); i++){
            if (nums[i - 1] > nums[i]){
                cout << "error" << endl;
                return 0;
            }
        }
    }

    cout << "all is ok" << endl;
    return 0;
}
  • 非递归版本
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#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

void mergeSort(vector<int> &nums){
    int len = nums.size();
    vector<int> tmp(len);

    for(int width = 1; width < len; width *= 2){                         // witdh是每个小数组的大小，1，2，4，8, ...
        for (int left = 0; left < len - width; left += 2 * width){       // left是每一对子数组的起点
            // 处理每一对子数组，此时每个子数组的左右两边都是有序的
            int mid = left + width - 1;          //左数组的边界(因为left < len - width，所以mid不会大于len - 1)
            int right = left + width * 2 - 1;   //右数组的边界(不能超过len-1)
            if (right > len - 1){
                right = len - 1;
            }
            // 开始合并过程，此时[left, mid],(mid,right]都是有序的
            int k = left;
            int i = left;
            int j = mid + 1;
            while(i <= mid && j <= right){
                if (nums[i] > nums[j]){
                    tmp[k++] = nums[j++];
                }else{
                    tmp[k++] = nums[i++];
                }
            }

            while(i <= mid){
                tmp[k++] = nums[i++];
            }

            while(j <= right){
                tmp[k++] = nums[j++];
            }
        }

        //
        for (int i = 0; i < len; i++){
            nums[i] = tmp[i];
        }
    }
}


int main(){
        // 测试用例
        vector<vector<int>> test_case = {
        {2, 2},
        {1, 2},
        {2, 1},
        {2, 2, 2, 2, 2},
        {1, 2, 3, 4, 5},
        {5, 4, 3, 2, 1},
    };

        // 加一些随机数组
        srand(time(0));
        for (int i = 0; i < 1000; i++){
                int len = rand() % 100 + 1;
                vector<int> nums(len);
                for (int j = 0; j < len; j++){
                        nums.push_back(rand() % 100);
                }
                test_case.push_back(nums);
        }

        for (auto nums : test_case){
                mergeSort(nums);

                for (int i = 1; i < nums.size(); i++){
                        if (nums[i - 1] > nums[i]){
                                cout << "error" << endl;
                                return 0;
                        }
                }
        }

        cout << "all is ok" << endl;
        return 0;
}

4.复杂度分析

归并排序其实可以看作是二叉树的后序遍历，树的深度是log2n，每一层的merge，其比较的总次数都是数组长度n，因此总体的时间复杂度是O(nlogn)。

5.对比

归并排序和快速排序都是常见的基于比较的排序算法，它们的时间复杂度都为 O(nlogn) 。
归并排序的最好、最坏和平均时间复杂度都为O(nlogn)，并且它具有稳定性。
归并排序的主要缺点是需要开辟额外的空间，这可能在处理大规模数据时限制了其使用。

快速排序的优势在于它是一种原址排序算法，不需要额外的空间开销，它的平均速度比归并排序更快，特别是对于大规模数据集。但是，快速排序在最坏情况下的运行时间仍然不理想，而且它不具有稳定性，可能会改变相同元素的原始相对位置。
因此，选择归并排序或快速排序取决于具体问题和数据特征。在排序需要保持稳定性的问题上，归并排序是最好的选择；在其他问题上，特别是处理大规模数据时，快速排序通常更为高效。

参考资料

算法
归并排序的实现
https://blog.supersource.top/merge_sort/
作者
看热闹的咸鱼
发布于
2023年4月29日
许可协议